מספרים מרוכבים: הצגה קוטבית, אוילר ודה מואבר

מאת דוד משיח · 01.11.2026

מספר מרוכב a + bi הוא נקודה במישור. בהצגה קרטזית קל לחבר אותו; בהצגה קוטבית, כאורך וזווית, קל לכפול אותו, להעלות בחזקה ולהוציא שורש. רוב המיומנות היא המעבר בין שתי ההצגות.

z = a + bi, i^{2} = - 1

∣ z ∣ = r = a^{2} + b^{2}, θ = atan2 (b, a)

z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}

z^{n} = r^{n} e^{in θ}

n z = r^{1/ n} e^{i (θ + 2 π k) / n}, k = 0, 1, \dots, n - 1

שתי הצגות

ההצגה הקרטזית a + bi מתחברת רכיב אחרי רכיב. ההצגה הקוטבית r·e^(iθ) משתמשת בערך המוחלט r, המרחק מאפס, ובארגומנט θ, הזווית מהציר הממשי החיובי. כפל של שני מספרים מרוכבים כופל את הערכים המוחלטים ומחבר את הזוויות, ולכן חזקות קלות בהצגה קוטבית.

הארגומנט והרביע

הזווית היא לא פשוט arctan(b/a). הנוסחה הזו לא מבדילה בין 1 + i ל־−1 − i. צריך להתחשב ברביע: הפונקציה atan2(b, a) עושה את זה אוטומטית, ונותנת זווית בין מינוס 180 ל־180 מעלות.

חזקות ושורשים

נוסחת דה מואבר מעלה מספר בחזקת n על ידי העלאת r בחזקת n וכפל הזווית ב־n. שורשים הולכים בכיוון ההפוך, ותמיד יש n כאלה: במרווחים שווים על מעגל ברדיוס r^(1/n), אחד כל 360°/n.

חילוק הכי קל עם הצמוד: כופלים מונה ומכנה ב־a − bi, כי (a + bi)(a − bi) = a² + b² הוא ממשי.

דוגמה

עבור z = 1 + i: r = √2 ו־θ = 45°, ולכן z = √2·e^(iπ/4).

אז z⁴ = (√2)⁴·e^(iπ) = 4·(−1) = −4. בדיקה בהצגה קרטזית: (1 + i)² = 2i, ו־(2i)² = −4. אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.

מחשבון הצגה קוטבית וחזקות

z = a + b·i, z^n

a b n

|z|–

θ (מעלות)–

z^n–

טעויות נפוצות

לקחת את הזווית כ־arctan(b/a) עבור מספר ברביע השני או השלישי.
למצוא שורש אחד ולשכוח את n − 1 האחרים.
לערבב מעלות ורדיאנים בתוך e^(iθ), שתמיד מקבל רדיאנים.