טור טיילור, הסבר מלא

מאת דוד משיח · 01.11.2026

טור טיילור בונה פונקציה מחדש מהנגזרות שלה בנקודה אחת, כפולינום. חותכים אותו אחרי כמה איברים ומקבלים קירוב טוב מאוד ליד הנקודה. כך מחשבונים מחשבים סינוס ו־e בחזקת x, וזו הדרך המהירה ביותר דרך הרבה גבולות.

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots, \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots (∣ x ∣ < 1)

R_{N} (x) = \frac{f ^{(N + 1)} ( ξ )}{( N + 1 )!} (x - a)^{N + 1}

הרעיון

בוחרים נקודה a. פולינום טיילור ממעלה N הוא הפולינום שהערך שלו ו־N הנגזרות הראשונות שלו ב־a שווים לאלה של הפונקציה. כל איבר נוסף מתאים עוד נגזרת אחת, ולכן הקירוב נשאר טוב רחוק יותר מ־a. סביב a = 0 הוא נקרא גם טור מקלורן.

כמה הוא מדויק

השגיאה אחרי מעלה N היא השארית של לגרנז׳: הנגזרת הבאה בנקודה ξ כלשהי בין a ל־x, כפול (x − a)^(N+1)/(N+1)!. העצרת גדלה מהר, ולכן ליד a מספיקים לרוב כמה איברים.

לטורים מתחלפים כמו סינוס וקוסינוס יש חסם פשוט יותר: השגיאה קטנה מהאיבר הראשון שהשמטתם.

גבולות בלי לופיטל

מחליפים כל פונקציה באיברים הראשונים שלה, ורוב הגבולות מסוג 0/0 מתפרקים. sin x / x = (x − x³/6 + …)/x → 1. (1 − cos x)/x² = (x²/2 − …)/x² → 1/2. פיתוח אחד מחליף לא פעם כמה סבבים של לופיטל.

איפה הוא מתכנס

יש טורים שעובדים בכל מקום: e בחזקת x, סינוס וקוסינוס מתכנסים לכל x. אחרים נעצרים ברדיוס מסוים. 1/(1 − x) ו־ln(1 + x) מתכנסים רק עבור |x| < 1, ומחוץ לתחום הזה הוספת איברים מקלקלת את הקירוב במקום לשפר אותו. נסו x = 2 במחשבון.

דוגמה

נקרב את e^0.5 עד מעלה 3: 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208 = 1.6458. הערך האמיתי הוא 1.6487, ולכן השגיאה היא בערך 0.0029. אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.

עבור sin 1 עד מעלה 5: 1 − 1/6 + 1/120 = 0.84167, מול הערך האמיתי 0.84147. השגיאה, בערך 0.0002, קטנה מהאיבר הראשון שהושמט, 1/5040 ≈ 0.0002.

מחשבון פולינום טיילור

P_N(x), a = 0

פונקציה מעלה N x

P_N(x)–

ערך מדויק–

שגיאה–

טעויות נפוצות

לשכוח את העצרות, או לחלק ב־n במקום ב־n!.
להשתמש בטור מחוץ לתחום ההתכנסות שלו, למשל ln(1 + x) ב־x = 3.
לבלבל בין מעלה למספר איברים. לפולינום ממעלה 5 של סינוס יש רק שלושה איברים שאינם אפס.