משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, הסבר מלא

מאת דוד משיח · 01.11.2026

משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני עם מקדמים קבועים, y″ + py′ + qy = 0, מתארת כל דבר שקופץ, מתנדנד או מתייצב: מסה על קפיץ, מעגל RLC, מתלה של רכב. ניחוש אחד פותר את כולן, והשורשים של משוואה ריבועית קובעים איך הפתרון נראה.

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

r^{2} + p r + q = 0

r_{1} \neq = r_{2} \in R : y = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t}

r_{1} = r_{2} = r : y = (C_{1} + C_{2} t) e^{r t}

r = α \pm i β : y = e^{α t} (C_{1} cos β t + C_{2} sin β t)

המשוואה האופיינית

מנחשים y = e^(rt). כל גזירה כופלת אותו ב־r, ולכן המשוואה הופכת ל־(r² + pr + q)·e^(rt) = 0. האקספוננט אף פעם לא מתאפס, ולכן r חייב לפתור את r² + pr + q = 0. המשוואה הריבועית הזו היא המשוואה האופיינית.

שלושה מקרים

שני שורשים ממשיים שונים נותנים שתי אקספוננטות דועכות או גדלות: המערכת זוחלת חזרה בלי להתנודד. שורש כפול דורש פתרון שני, t·e^(rt), והוא הגבול בין שני המקרים האחרים. שורשים מרוכבים α ± iβ נותנים סינוס וקוסינוס בתוך מעטפת אקספוננציאלית: המערכת מתנודדת בתדר β ודועכת או גדלה בקצב α.

אם כותבים את המשוואה כ־y″ + 2ζω·y′ + ω²·y = 0, שלושת המקרים הם יחס ריסון ζ גדול מ־1, שווה ל־1 או קטן מ־1. זו בדיוק המשוואה של מסה מרוסנת על קפיץ.

התאמת תנאי ההתחלה

בפתרון הכללי יש שני קבועים, ושני תנאי ההתחלה y(0) ו־y′(0) קובעים אותם. מציבים t = 0 בפתרון ובנגזרת שלו, ופותרים שתי משוואות ליניאריות.

כשיש איבר מאלץ באגף ימין, התשובה היא הפתרון הכללי שלמעלה ועוד פתרון פרטי אחד של המשוואה המאולצת. מתאימים את תנאי ההתחלה רק אחרי שמחברים את השניים.

דוגמה

נפתור y″ + 2y′ + 5y = 0 עם y(0) = 1 ו־y′(0) = −1. למשוואה האופיינית r² + 2r + 5 = 0 יש שורשים r = −1 ± 2i, ולכן y = e^(−t)(C₁ cos 2t + C₂ sin 2t).

y(0) = C₁ = 1. גוזרים ומקבלים y′(0) = −C₁ + 2C₂ = −1, ולכן C₂ = 0. הפתרון הוא y = e^(−t) cos 2t: תנודה ב־2 רדיאנים לשנייה בתוך מעטפת דועכת. אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.

פותר מד״ר מסדר שני

y'' + p·y' + q·y = 0, y(0) = y0, y'(0) = v0

p q y(0) y'(0) t

שורשים–

y(t)–

y(t) בנקודה t–

טעויות נפוצות

לשכוח את ה־t במקרה של שורש כפול. C₁e^(rt) + C₂e^(rt) הוא בעצם פתרון אחד, לא שניים.
לקרוא את β כקצב הדעיכה. ב־α ± iβ, החלק הממשי α דועך או גדל, והחלק המדומה β מתנודד.
להתאים את תנאי ההתחלה לחלק ההומוגני לפני שמוסיפים את הפתרון הפרטי.