התמרת לפלס, הסבר מלא

מאת דוד משיח · 01.11.2026

התמרת לפלס הופכת משוואה דיפרנציאלית בזמן למשוואה אלגברית במשתנה חדש, s. פותרים את האלגברה, ואז מתמירים בחזרה. כך פותרים מד״ר ליניאריות עם תנאי התחלה, מעגלים חשמליים ומערכות בקרה.

F (s) = L {f (t)} = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

L {f^{'} (t)} = s F (s) - f (0)

L {f^{''} (t)} = s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0)

L {e^{a t}} = \frac{1}{s - a}

L {sin ω t} = \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}, L {cos ω t} = \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

L {e^{a t} f (t)} = F (s - a)

מה היא עושה

ההתמרה כופלת פונקציה ב־e בחזקת מינוס st ומבצעת אינטגרל על כל הזמן החיובי. התכונה שהופכת אותה לשימושית היא מה שהיא עושה לנגזרות: נגזרת הופכת לכפל ב־s, ותנאי ההתחלה נכנסים מעצמם.

פתרון מד״ר בשלושה צעדים

מתמירים את שני האגפים של המשוואה, בעזרת כללי הנגזרת והטבלה. פותרים את המשוואה האלגברית שמתקבלת ומבודדים את Y(s). אחר כך מחזירים את Y(s) ל־y(t), בדרך כלל על ידי פירוק לשברים חלקיים שכל אחד מהם מופיע בטבלה.

החזרה עם שברים חלקיים

רוב הבעיות מסדר שני מסתיימות בשבר מהצורה (As + B)/(s² + ps + q). השורשים של המכנה קובעים את התשובה. שני שורשים ממשיים נותנים שתי אקספוננטות. שורש כפול נותן איבר מהצורה t·e^(rt). שורשים מרוכבים נותנים סינוס וקוסינוס דועכים, שמוצאים בהשלמה לריבוע. המחשבון למטה מטפל בשלושת המקרים.

דוגמה

נפתור y″ + 3y′ + 2y = 0 עם y(0) = 1 ו־y′(0) = 0. ההתמרה נותנת s²Y − s + 3(sY − 1) + 2Y = 0, ולכן Y(s) = (s + 3)/(s² + 3s + 2).

המכנה הוא (s + 1)(s + 2), ושברים חלקיים נותנים Y = 2/(s + 1) − 1/(s + 2). לכן y(t) = 2e^(−t) − e^(−2t). בדיקה: y(0) = 2 − 1 = 1 ו־y′(0) = −2 + 2 = 0. אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.

מחשבון התמרת לפלס הפוכה

F(s) = (A·s + B) / (s² + p·s + q)

A B p q t

שורשים–

f(t)–

f(t) בנקודה t–

טעויות נפוצות

לשכוח את תנאי ההתחלה כשמתמירים נגזרת.
להפוך את ההזזה: כפל ב־e בחזקת at בזמן מחליף את s ב־s − a, לא ב־s + a.
להתחיל שברים חלקיים כשהמעלה של המונה לא קטנה מזו של המכנה. קודם מחלקים פולינומים.