פתרון מערכת משוואות ליניאריות בשיטת גאוס
פותרים מערכת משוואות ליניאריות על ידי הפיכתה, פעולת שורה אחת בכל פעם, למשולש שאפשר לקרוא מלמטה למעלה. זו שיטת גאוס, השיטה שעומדת מאחורי כמעט כל קורס באלגברה ליניארית וכל פותר נומרי.
פעולות שורה
שלוש פעולות אף פעם לא משנות את הפתרון: החלפת שתי שורות, כפל שורה במספר שאינו אפס, והוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת. מפעילים אותן על המטריצה המורחבת [A | b], המקדמים ואגף ימין יחד.
המטרה היא צורה משולשת עליונה, עם אפסים מתחת לאלכסון. משם הצבה לאחור מסיימת את העבודה: השורה האחרונה נותנת את z, זו שמעליה את y, והשורה העליונה את x.
פתרון אחד, אף פתרון, או אינסוף
אם det A ≠ 0, יש פתרון יחיד. אם det A = 0, הדירוג מסתיים בשורת אפסים בצד שמאל. אם גם אגף ימין של השורה הזו אפס, יש אינסוף פתרונות ומשתנה אחד חופשי. אם לא, השורה אומרת 0 = c ואין פתרון בכלל.
בחירת איבר ציר
חלוקה באיבר ציר קטן מאוד מגדילה שגיאות עיגול, ואיבר ציר אפס עוצר את השיטה. הפתרון הוא בחירת ציר חלקית: לפני האיפוס בכל עמודה, מחליפים למעלה את השורה עם האיבר הגדול ביותר בעמודה. המחשבון למטה עושה את זה.
דוגמה
נפתור x + y + z = 6, 2y + 5z = −4, 2x + 5y − z = 27. מחסירים פעמיים את השורה הראשונה מהשלישית: 3y − 3z = 15, כלומר y − z = 5.
מציבים y = z + 5 ב־2y + 5z = −4: 7z + 10 = −4, ולכן z = −2, אחר כך y = 3 ו־x = 6 − 3 + 2 = 5. הדטרמיננטה היא −21, לא אפס, ולכן זה הפתרון היחיד. אלה ערכי ברירת המחדל במחשבון.
פותר מערכת 3×3
a11·x + a12·y + a13·z = b1 (rows 1 to 3)
טעויות נפוצות
- להפעיל פעולת שורה על המקדמים בלי להפעיל אותה על אגף ימין.
- לעצור באיבר ציר אפס במקום להחליף שורות.
- להסיק “אין פתרון” ברגע ש־det A = 0, בלי לבדוק אם המערכת עקבית.