טבלאות נוסחאות

טבלת התמרות לפלס: התמרות בסיסיות ותכונות

ההתמרות שצריך כדי לפתור מד״ר ובעיות בקרה, בעמוד אחד. בצד ימין הפונקציה בזמן, בצד שמאל ההתמרה שלה.

התמרות בסיסיות

f(t)	F(s)
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s ^{2}}$
$t^{n}$	$\frac{n !}{s ^{n + 1}}$
$e^{a t}$	$\frac{1}{s - a}$
$t^{n} e^{a t}$	$\frac{n !}{( s - a ) ^{n + 1}}$
$u (t - a)$	$\frac{e ^{- a s}}{s}$
$δ (t - a)$	$e^{- a s}$

סינוס, קוסינוס והיפרבוליות

f(t)	F(s)
$sin ω t$	$\frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}$
$cos ω t$	$\frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}$
$e^{a t} sin ω t$	$\frac{ω}{( s - a ) ^{2} + ω ^{2}}$
$e^{a t} cos ω t$	$\frac{s - a}{( s - a ) ^{2} + ω ^{2}}$
$t sin ω t$	$\frac{2 ω s}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$
$t cos ω t$	$\frac{s ^{2} - ω ^{2}}{( s ^{2} + ω ^{2} ) ^{2}}$
$sinh a t$	$\frac{a}{s ^{2} - a ^{2}}$
$cosh a t$	$\frac{s}{s ^{2} - a ^{2}}$

תכונות ההתמרה

f(t)	F(s)
$f^{'} (t)$	$s F (s) - f (0)$
$f^{''} (t)$	$s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0)$
$\int_{0}^{t} f (τ) d τ$	$\frac{F ( s )}{s}$
$e^{a t} f (t)$	$F (s - a)$
$f (t - a) u (t - a)$	$e^{- a s} F (s)$
$t f (t)$	$- F^{'} (s)$
$(f * g) (t)$	$F (s) G (s)$

הערות

u(t − a) היא פונקציית המדרגה, שעוברת מ־0 ל־1 בזמן a, ו־δ(t − a) היא פונקציית דלתא של דיראק.

כדי להפוך התמרה, מפרקים את F(s) לשברים חלקיים שכל אחד מהם מופיע בטבלה. יש מחשבון לזה בעמוד ההסבר.